Αν δύο από δέκα φύλλα σάς βοηθούν, η πιθανότητα να είναι χρήσιμο το πρώτο φύλλο είναι 20%. Αν εξετάσετε τρία διαφορετικά φύλλα, η πιθανότητα να βρείτε τουλάχιστον ένα χρήσιμο γίνεται περίπου 53,3%. Δεν είναι 60%, επειδή οι περιπτώσεις με δύο χρήσιμα φύλλα δεν πρέπει να μετρηθούν δύο φορές.
Πρόκειται για υποθετικό μοντέλο δέκα φύλλων, όχι για μέτρηση παρτίδων. Γνωρίζουμε ποια είναι τα δέκα φύλλα και ότι ακριβώς δύο εξυπηρετούν τον στόχο μας. Υποθέτουμε τυχαία σειρά, με όλες τις σειρές εξίσου πιθανές, και δεν επιστρέφουμε κανένα φύλλο στο πακέτο όσο εξετάζουμε τις επόμενες θέσεις.
Ένα παράδειγμα που μπορείτε να στρώσετε στο τραπέζι
Βγάλτε δέκα διαφορετικά φύλλα από μια τράπουλα, ανάμεσά τους τα δύο μαύρα 7. Θεωρήστε χρήσιμο οποιοδήποτε από αυτά, επειδή θέλετε θέση για ένα κόκκινο 6. Ανακατέψτε τα δέκα και εξετάστε τα πρώτα ένα, τρία ή πέντε. Μετράμε μόνο αν υπάρχει μαύρο 7 στις θέσεις αυτές.
Αυτό το μικρό πακέτο είναι διδακτικό παράδειγμα. Δεν περιγράφει ολόκληρη μοιρασιά Klondike ούτε ελέγχει αν το κόκκινο 6 είναι προσβάσιμο. Διαχωρίζουμε σκόπιμα την εμφάνιση ενός χρήσιμου φύλλου από τη δυνατότητα να το αξιοποιήσουμε.
Μετρήστε πρώτα την περίπτωση να μη βρεθεί κανένα
Από τα δέκα φύλλα, τα οκτώ δεν είναι στόχοι. Για τρεις θέσεις υπάρχουν 120 διαφορετικές τριάδες συνολικά. Οι 56 αποτελούνται μόνο από τα οκτώ μη χρήσιμα φύλλα. Άρα 64 από τις 120 τριάδες περιλαμβάνουν τουλάχιστον έναν στόχο: 64 / 120 = 53,333…%.
| Θέσεις που εξετάζουμε | Ακριβές κλάσμα | Πιθανότητα |
|---|---|---|
| 1 | 2 / 10 | 20,0% |
| 3 | 64 / 120 | 53,3% |
| 5 | 196 / 252 | 77,8% |
Γενικά, για k θέσεις ο υπολογισμός είναι 1 − C(8, k) / C(10, k). Το C(n, k) μετρά πόσες ομάδες μεγέθους k σχηματίζονται από n διαφορετικά αντικείμενα. Αυτή είναι εφαρμογή της υπεργεωμετρικής κατανομής, για δειγματοληψία χωρίς επιστροφή.
Γιατί δεν είναι πρόβλεψη για το επόμενο πάτημα
Στην πασιέντζα με τρία φύλλα, το ότι ένα χρήσιμο φύλλο βρίσκεται στην τριάδα δεν σημαίνει ότι μπορείτε να το παίξετε αμέσως. Παίζεται πρώτα το επάνω. Επίσης, σε μια πραγματική παρτίδα μπορεί να μη γνωρίζετε πόσοι στόχοι απομένουν στο πακέτο και πόσοι κρύβονται στις στήλες.
Οι επιλεγμένες μοιρασιές με γνωστή λύση δεν αποτελούν κατ’ ανάγκη ομοιόμορφο δείγμα όλων των πιθανών σειρών. Και τα επόμενα περάσματα ενός ήδη γνωστού πακέτου δεν είναι νέα τυχαία ανακατέματα. Γι’ αυτό δεν μεταφέρουμε το 53,3% αυτούσιο σε οποιαδήποτε θέση της οθόνης.
Αναπαραγωγή του υπολογισμού
from math import comb
for k in [1, 3, 5]:
total = comb(10, k)
useful = total - comb(8, k)
print(k, useful, total, round(100*useful/total, 1))Το αρχείο υπολογισμών ελέγχει επιπλέον όλες τις δυνατές ομάδες μία μία. Για να συνδέσετε το παράδειγμα με την απλή πασιέντζα, διαλέξτε ένα φύλλο που θέλετε να μετακινήσετε και ονομάστε τους δύο πιθανούς προορισμούς του. Έπειτα ξεχωρίστε όσα γνωρίζετε από όσα απλώς ελπίζετε να εμφανιστούν.